Cómo entender las Matemáticas

Hoy me apetece un tema más tranquilo, no sé si más útil.

Los psicopedagogos de mi país describen que una de las causas más grandes del fracaso escolar (incluído el universitario) es la falta de comprensión.

Yo voy a poner tres granitos de arena, si es que tengo (tenemos) la suerte de que tú, que me lees, estés peleándote con las matemáticas de una ingeniería o carrera de ciencias: Análisis Matemático o Cálculo, principalmente. En mi caso personal, FRACASÉ absolutamente, no entendí nada, me derrumbé hasta que conseguí tres llaves que abren puertas:

I.- RESPETA LAS REGLAS DEL JUEGO

Tienes que entender que las matemáticas son un juego, serio, pero un juego. Como en todo juego, la partida se desarrolla SIEMPRE a partir de las Normas del Juego. Unas normas dan lugar al juego de la oca, otras al juego de rol del Señor de los Anillos, otras al Poker y otras, al juego de los números Reales. No te rías, ni me leas con burla, no te estoy mintiendo. Quien dice números Reales, dice con el mismo fundamento y validez los Espacios n-Dimensionales, la Combinatoria, la Probabilidad, los Números Complejos… lo que quieras. Todo se basa en fijar unas normas de partida, que son sagradas. Y respetarlas al ponernos a “jugar”.

Algunas normas crean objetos (números, vectores, conjuntos, …) y otras normas crean operaciones legales para esos objetos (sumar, restar, intersectar…). Tú serás un gran jugador si eres capaz de “jugar” una partida (una aventura de rol, o un un subespacio vectorial, o un …) utilizando sólo (¡sólo!) esas normas. Por ejemplo, hay una norma que define qué es un número Real, y otra norma define qué es la suma de dos números Reales. Con esas dos normas definidas… acaba de crearse un juego. Pues bien, cualquier tema del que hayas oído hablar en matemáticas funciona así.  He mencionado una cosa clave en matemáticas: las definiciones. Ya verás que tu profesor te da las reglas de juego mediante definiciones, ya sea de objetos, ya sea de operaciones con esos objetos. Tus apuntes, y tus libros, empiezan a crear mundos mediante definiciones. No olvides esta regla: usa las definiciones, remítete sólo a lo que haya sido definido. Si no ha sido definido, no existe en tu juego, y atrévete a decir sin miedo que lo que no existe en tu juego simplemente no puede hacerse, ni manejarse, ni usarse: formalmente decimos que está indefinido.

El caso más claro de los números Reales, y bienvenido a la pubertad, es cuando sabes claramente qué da 4 dividido entre 2, y 6 dividido entre 1, pero hay de ti cuando te preguntan cuánto es 4 dividido entre O. ¿Respuesta?.

No la hay.

En el conjunto de los números Reales, está definida la división entre dos números Reales, siempre y cuando el denominador de la división no sea el número O. Si quieres dividir algo por cero, déjalo, no sigas, estás intentando usar algo que no está definido, intentas usar una regla que no es de este juego. Así que la división por cero no tiene respuesta o solución dentro del conjunto de los números reales, no tiene sentido, ¿comprendes?, porque esa operación no está definida. Y tú tienes que decirlo, clarito: no se puede. Y no pasa nada, tu profesor está de tu lado. Tampoco intentes lanzar un hechizo en una partida de póker, ni comer ficha en el juego del diccionario, ni vendarte los ojos ante un crucigrama… nada de eso está definido en esos juegos.

Si esto lo tienes claro, si eres capaz de aceptar esto e intentas aprenderte las definiciones de tus temas de matemáticas, tanto de objetos como de operaciones (lo que se permite en el juego matemático), estás entendiendo realmente lo que son las matemáticas, y si practicas jugando con las reglas definidas… aprobarás.

Supongo que se te ha quedado un sabor de boca extraño, o hay algo que te huele a quemado en todo esto. ¿Quién cojones dice qué o qué no está definido?. Pues muy sencillo: tipos que llegaron al mundo antes que tú. Obviamente era espabiladetes, aunque ya lleven siglos o décadas muerto. Se les llaman matemáticos. Se atrevieron a generar juegos, creando reglas y definiciones que no rompiesen las reglas anteriores, así que sus reglas nuevas fueron aceptadas como una expansión de las ya conocidas. Se trataba de llegar más allá sin entrar en contradición con lo ya definido. Si ocurría una contradicción, se invalidaba la nueva regla. Lo mejor de ello es que tuvieron la suficiente lucidez como para aplicar sus partidas a la vida cotidiana y sacar provecho de ello. Por ejemplo, el listillo que creó la regla de multiplicar y la supo aplicar… a la hora de calcular sacos de comida o sueldos, o la cantidad de soldados bien formados contra los que tenían que darse de guantazos, o para calcular bien cuántas semillas necesitaba para sus campos… pues serían unos genios para los que sólo sabían sumar.

Así que… sí, las matemáticas son juegos arbitrarios, consensuados, convenidos por comunidades que vigilaban que no hubiesen contradicciones. Pero cuando las aplicaciones de sus “partidas” a la vida cotidiana eran ventajosas, pues se expandieron, se repasaron, se mimaron, se fueron creando nuevas reglas que no rompiesen las anteriores, y se han ido entregando a nosotros, incluso en nuestros días, como campos matemáticos flipantes y alucinantes.

El ajedrez, sin embargo, aún siendo muy respetable, se quedó en eso, en un juego, para ejercitar la memoria, la concentración, … pero no consiguió la categoría de las matemáticas, por sus poquísimas aplicaciones útiles a la vida real.

No lo olvides, sigue las reglas, sólo las reglas creadas mediante objetos y operaciones.

II.- LA CLAVE DE TUS EJERCICIOS ESTÁ EN LOS TEOREMAS

Los Corolarios y Teoremas son conclusiones verdaderas a las que se ha llegado usando los objetos y operaciones legales del juego. No son el final de la partida, pero son “casillas” intermedias en las que cae tu ficha o situaciones con las que se encuentra tu personaje de rol, situaciones de conocimiento más avanzado y no tan evidente, que por algún motivo (que descubrirás tarde o temprano) son importantes. Son verdades evolucionadas a partir de otras verdades más sencillas. Lo normal es que los teoremas sean importantes porque tienen aplicaciones utilísimas en la vida real o porque conducen a otros teoremas muy prácticos para resolver dilemas y necesidades de nuestra sociedad. Abrevian gran cantidad de conocimiento en muy poco espacio. Por eso nos detenemos en ellos, porque si no aportasen nada pasaríamos de largo hasta una nueva estancia del saber… que no sea contradictoria.

A veces tienes que tener fe, paciencia, confiar … no siempre verás la aplicación práctica de los teoremas de forma evidente. Pero si algo es llamado teorema,… es que encierra algo grande, esconde algo importante, créeme.

El Análisis Matemático (una de las típicas asignaturas de Matemáticas) desmenuza mucho las reglas del juego, y construye reglas nuevas usando otras reglas previamente construidas y aceptadas como válidas. Lo orgásmico del Análisis Matemático es el proceso de disfrutar el detalle, el pasito diminuto, la formalidad, la pureza, la construcción en sí de verdades a partir de otras. Normalmente el Análisis no conduce de forma directa a nuevas situaciones prácticas (útiles en la vida cotidiana), pero es bonito per sé, es como filosofar por filosofar. Es como el proceso de desnudar a la dama, con algún botón que no se suelta, con la lentitud y delicadeza que te ponen como una moto, pero empezando por que si te digo una cosita, que si te digo otra… Sin embargo, el Cálculo (la otra gran asignatura)… persigue llegar a estancias prácticas, a conocimientos que puedan usarse como método directo para resolver algo por la vía rápida en problemas de la vida real cotidiana. El Cálculo premia el resultado, no tanto el deleite del camino.

Así es como se llega a la regla de la multiplicación (mejor llamado “producto”), a base de evolucionar nuestra partida tomando como punto de salida los números y la operación suma. Como todos somos muy desconfiados, se parte de una verdad sencilla (los números y la operación suma) y se evoluciona hacia otra más elaborada pero más útil (la multiplicación). Esa evolución, insisto, consiste en aplicar en la buena dirección las reglas previamente aceptadas en el juego. ¿Que cúal es la buena dirección?,  ¿cuándo o cómo se combina lo aprendido antes?, ¿cómo se encadenan o entrelazan las definiciones y operaciones?… pues a veces es la resultante de “una idea feliz”, de la inspiración, de otra deducción similar, etc. O de la puñetera suerte. De hecho… cualquier dirección es buena, pero allá donde te lleve no ha de contradecir lo dicho anteriormente. Siempre respetando las definiciones previas. Cuando alguien conduce con “arte”, creatividad, orden, limpieza, claridad, etc. y usando reglas previamente aceptadas un desarrollo matemático, se dice que tal proceso ha sido elegante.

Por ejemplo, cuando los romanos venían bien formaditos a darse de castañas con Aníbal Barca, era fácil contarlos por multiplicación: una Centuria eran 10 pardillos de frente por 8 de fondo. Ocho por diez son ochenta guantazos como mínimo. Los mismos que si contamos de uno en uno, pero no sé si esperarían tanto tiempo sin moverse. Así que la multiplicación parece más bien un engendro del Cálculo.

Un Teorema es, entonces, una verdad que procede de otra u otras verdades evolucionadas en el proceso del razonar. Cuando el Teorema es producto de poco recorrido en el proceso de razonamiento y no se aleja demasiado de aquello de lo que parte, se llama Corolario. Un Corolario es un Teorema de corto alcance, por decirlo así. Corto alcance, pero nunca equivocado, ¿lo entiendes?. El proceso de deducción por el cual, partiendo de unas verdades, se llega a otras, se llama demostración.

Bueno, pues todo ese rollo previo era para decirte esto, que es muy útil: las soluciones de los problemas y ejercicios que te manden para resolver en casa son casos concretos de las demostraciones de los teoremas. O sea, las demostraciones son guías de resolución de problemas. Así que entiéndelas bien, y sabrás encajar en ellas tus casos particulares, tus “problemas para casa”. Fundamental entender esto.

III.- NO HAY MAGIA

Recuerda siempre que, cuando no entiendes algo, no necesariamente es por tu culpa. No creas que las matemáticas son para genios, ni creas que las matemáticas se basan en cosas que son del más allá o inteligibles por seres superiores. Las matemáticas son muy lógicas, así que si estás prestando atención, si estás escuchando, si estás esforzándote por entender e intentas desarrollar los hilos por tu cuenta, pero aún así no lo entiendes… algo falla, y no necesariamente eres tú. Aunque te parezca mentira, o mejor dicho, aunque no puedas creerlo, hay profesores muy bien considerados, pero tal vez no tienen ni idea de cómo transmitir sus conocimientos. Eso no es un profesor, eso es un experto, y punto. En otras ocasiones, el fallo puede estar en el libro que estás usando, porque aunque un autor se gaste un pastón en publicarlo y haya mucha gente pendiente como para no equivocarse, pues alguien va y se equivoca, y lo imprimen con errores. Sí, los libros también tienen fallos. Así que mueve el culo y busca dónde está el fallo, para plantearte la nueva estrategia de ataque. Si no lo entiendes, ahí falla algo.

Como decía Julieta Venegas, me voy, que lástima… Con un consejillo. Tienes un profesor o profesora. Ve a verlo, a plantear tus dudas, no te calles. Pero si vas, que sea porque te has esforzado en entender (no es necesario desangrarse). Sobre todo no creas que vas a ver a un dios, así que no vayas con cara de cordero degollado, si te ve inseguro te largará sin esforzarse. Pero tampoco seas maleducado; simplemente sé persistente y coherente, demandando información, pero sé educado. Háblale en su idioma, usando los términos y las definiciones que te ha explicado, razona con él, demuéstrale que su esfuerzo no ha caído en saco roto, que al menos lo estás intentando…

Ojalá que sirva para algo todo esto que te he contado. A mí me habría ahorrado esfuerzo, disgustos y complejos.

VI.- TRABAJA EL MATERIAL

Muchos meses después de escribir todo lo anterior, escribo este apartado. No puedo dejármelo en el tintero…

En el colegio, e incluso en el instituto, a algunos les basta con ser inteligentes para aprobar. No hacen los ejercicios, no repasan los apuntes, tan sólo se limitan a usar su buena memoria o a una lectura leve del material de estudio. Eso no funcionará en la universidad, jamás. Es enorme el fracaso de estudiantes inteligentes, incluso de genios, cuando llegan a la universidad. Las matemáticas universitarias requieren una comprensión más profunda, más agilidad conseguida, más práctica adquirida que lo visto antes. La universidad exige que trabajes el material, entendiéndolo a base de ir jugando con las reglas, recordando las definiciones, resolviendo los ejercicios y problemas basándote en las reglas y objetos definidos.

Te preguntarás que qué es lo que has de trabajar. Tienes suerte, también te lo voy a decir.

En primer lugar: los apuntes de clase, que son preparados por el profesor. Él intenta decirte algo, pierde tiempo preparando el material, así que escúchalo. Intenta tomar buenos (legibles, comprensibles, razonados) apuntes en clase. Si no los entiendes cuando estés a solas ante tus apuntes, chequea qué falla en el razonamiento, tal vez te has dejado una letra, un símbolo, una frase… Ha de haber algo en algún punto que te huele a chamusquina, una linea donde tu razón dice que algo no va bien… Si no das con ello, habla con tus compañeros o con tu profesor sobre ese punto, y no pares hasta aclararlo. Recuérdalo, no hay magia: puede entenderse; si tú no puedes, es que te falta alguna pieza del puzzle.

En segundo lugar: los ejercicios y problemas dados por tu profesor, tanto los que resuelve en clase poniéndolos como ejemplo de la teoría, como los que manda para casa. Antes de hacer problemas por tu cuenta, has de haber repasado un poco la teoría, ya sabes, refrescar qué reglas puedes usar para razonar. Apréndete las reglas del juego primero, y después, juega. Jugar también facilita que memorices las reglas de juego. Hacer por tu cuenta los problemas que mandan para casa es bueno porque acostumbra a tu mente a memorizar esas reglas, y a practicar el camino correcto del razonamiento. No olvides que las demostraciones de los teoremas son los razonamientos que resuelven los problemas. Seguramente los puntos de partida para empezar a resolver serán diferentes de unos problemas a otros, pero el razonamiento en sí es el mismo. Cuando realmente lo entiendes, no importa por dónde empieces, sabrás llegar al final.

En tercer lugar, lo conocido es mejor. Es importante que comprendas esto: las matemáticas son tan tan tan amplias… que hay muchas maneras diferentes de hacer una misma cosa de forma válida, tantas que ni imaginas. Pero tu profesor, tu escuela, tu institución, han escogido unas maneras concretas. Son las que intentan enseñarte en clase, con los apuntes y ejercicios y problemas. Otros libros de otras escuelas, universidades, y otros profesores usarán maneras diferentes, igualmente válidas, de explicar las matemáticas. Pero… olvídate de ellas. No pierdas tiempo. Has de centrarte en lo que tu profesor quiere que aprendas. Es tu profesor. Su material de estudio, su forma de razonar. Sus definiciones, sus reglas. Sus ejemplos. Eso es lo que verdaderamente importa, lo que es conocido y familiar para él… haz que sea familiar para ti.

Si pretendes deslumbrar a tu profesor con otros estilos de expresar los conocimientos, si pretendes sorprenderle con nombres que usan en Oxford y Cambridge, si quieres impresionarlo desarrollando las matemáticas usando elementos ajenos de un libro que a ti te parece fabuloso, estás yendo por mal camino. Estás obligándole a refrescar ideas que quizás tiene adormecidas, le estás obligando a concentrarse en algo para lo que no tiene ni tiempo ni ganas. Estás haciendo que recorra un razonamiento nuevo para él consumiendo su tiempo y energías. Estás despreciando su material, su esfuerzo, sustituyéndolo por otros que no son familiares en tu entorno. No lo hagas. Las cosas nuevas tienen su propia complejidad, así que no traigas nuevas complicaciones que no son necesarias.

Por otro lado, créeme también si te digo que hay cientos de formas diferentes de resolver un problema, y cientos de hacer un ejercicio. Intenta aprender el estilo que ha escogido tu profesor. Familiarízate con su método de resolver problemas, de hacer demostraciones, de expresar el conocimiento matemático e incorpóralo a tu estilo. Ser metódico te aportará velocidad y agilidad.

Cuando ya domines el material de tu profesor, si te sobra tiempo usa otros ajenos si quieres, pero te aconsejo que sólo los uses para reforzar tu conocimiento personal, para tu propio uso en tu propio espacio privado de disfrute, pero no para sustituir lo que ha de ser familiar, habitual y conocido entre tú y tu profesor.

Lo dicho, ojalá te sirva de algo.